Mathematische Paradoxen gibt es viele, bekannt ist etwa das Barbier-Paradoxon, welches davon erzählt, dass ein Barbier ein Schild an seiner Tür hatte, auf dem Stand
"Ich rasiere genau die, die sich nicht selbst rasieren."
bis ihn einmal sein Sohn fragte, ob er sich eigentlich selbst rasierte. Man merkt schnell, dass man sich in einen Widerspruch verstrickt, da wenn er sich selbst rasiert, würde er sich ja nach seiner eigenen Aussage nicht selbst rasieren. Der Barbier musste sich wohl einen Bart wachsen lassen, für die Mathematiker ergaben sich daraus aber größere Probleme, die letztendlich zu Gödels Unvollständigkeitssatz und Turings Halteproblem (siehe dazu auch "Gedanken zum menschlichen Bewußtsein, der dort verlinkte Vortrag beschäftigt sich ebenfalls mit diesen Paradoxen).
Ein etwas mathematischeres Beispiel für ein Paradoxon ist folgendes:
Definitiere: X ist die kleinste Zahl, die sich nicht mit weniger als tausend Worten beschreiben lässt.
Nun, wir merken schnell: Wir haben X gerade mit 16 Worten beschrieben. Damit ist X mit weniger als tausend Worten beschreibbar.

Ich möchte hier eine Überlegung ausführen, die ich selber hatte und die ich bisher mit keinem Mathematiker diskutiert habe. Falls unter den Lesern meines Blogs ein Mathematiker ist, der was dazu sagen kann, würde ich mich über Kommentare freuen. Die Überlegung sollte von jedem, der sich etwas für Mathematik interessiert, nachvollziehbar sein, auch ohne Mathe-Studium. Ich setze lediglich voraus, dass man mit den Begriffen natürliche und reelle Zahlen etwas anfangen kann. Die Mathematiker bitte ich, mir zu verzeihen, dass ich teilweise unscharf argumentiere, aber der Grundgedanke dürfte auf jeden Fall klar werden.

Abzählbar und Überabzählbar

Zunächst muss ich eine kleine Einführung in die Theorie unendlicher Zahlen geben, Mathematiker und sonstige Menschen, die mit den Begrifflichkeiten bereits vertraut sind, dürfen getrost überspringen.
Es gibt in der Mathematik unterschiedliche Arten von unendlich. Während etwa die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) abzählbar sind, sind die reellen Zahlen dies nicht. Abzählbar ist eine Menge genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung auf die natürlichen Zahlen gibt oder (etwas weniger mathematisch) wenn man die Zahlen in eine Reihenfolge bringen kann.
Es gibt einen relativ leicht nachvollziehbaren Beweis von Cantor, warum die reellen Zahlen nicht abzählbar sind. Stellt man sich vor, dass man reelen Zahlen in eine Reihenfolge bringen könnte, wäre es möglich, sie untereinanderzuschreiben (auf einem unendlich langen und unendlich breiten Blatt). Nun nimmt man nun die erste Nachkommastelle der ersten Zahl und erhöht sie um 1, bzw., wenn diese 9 ist, macht eine Null daraus. Anschließend nimmt man von der zweiten Zahl die zweite Nachkommastelle und geht genauso vor etc. Aus den so erhaltenen Ziffern erzeugt man eine neue reelle Zahl, die sich zu jeder der aufgeschriebenen Zahlen an mindestens einer Stelle unterscheidet. Da diese neue Zahl in der Abzählung nicht vorkommt, muss sie falsch sein, d.h. die reellen Zahlen sind nicht Abzählbar oder (mathematisch ausgedrückt) Überabzählbar.

Meine Überlegung dazu

Wenn wir uns mal fragen, was die reellen Zahlen eigentlich sind, kommt man darauf, dass bei den reellen Zahlen eigenltich jede beliebige Anordnung von Ziffern möglich ist, wenn man irgendwie mathematisch beschreiben kann, wie sich diese Anordnung zusammensetzt.
Nun, genau da verstrickt man sich aber in einen Widerspruch. Wenn sich jede reelle Zahl irgendwie beschreiben lässt, liese sich diese Beschreibung auf einem (beliebig großen) Blatt Papier aufschreiben. Dieses Blatt Papier können wir uns als Anordnung von Pixeln in Schwarz oder Weiss (meinetwegen auch farbig, die Überlegung gilt analog) vorstellen. Die Geeks wissen natürlich sofort, dass wir es hier mit einer Anordnung von Bits zu tun haben (0 für Schwarz, 1 für Weiss, 2-color-Bitmap, yeah, das waren noch Zeiten). Eine beliebig lange Anordnung von Bits ist aber nichts anderes als eine Binärzahl und somit eine natürliche Zahl. Damit haben wir eine Abbildung auf die natürlichen Zahlen definiert.
Was heißt das nun? Es gibt reelle Zahlen, die sich nicht beschreiben lassen, egal wie viel Platz und wieviel Mathematiker-Hirnschmalz wir haben? Können solche Zahlen existieren?